オプションの［会話をアーカイブ］をクリックする

ハングアウトのメッセージには、過去の会話をアーカイブしておく機能があります。

チャットボックスの中に表示しておく必要がなければ、アーカイブすれば非表示にすることができます。なおアーカイブしても、会話は削除されません。